☝ Les cas où la résolution du système AX = B est immédiate - Remarque

Soit un système de \(n\) équations linéaires à  \(n\)  inconnues écrit sous forme matricielle,  \(AX=B\) .

• Si la matrice  \(A\)  est diagonale, la résolution est immédiate.
  
• Si la matrice  \(A\)  est triangulaire inférieure (respectivement supérieure), elle est très rapide. On commence par la ligne qui ne comporte qu'un coefficient non nul, puis on parcourt le système en descendant (respectivement remontant).

Exemples 

Avec une matrice \(A\)  diagonale

On veut résoudre le système  \(\begin {cases}3x=15\\2y=8\end{cases}\) .
Il s'écrit sous la forme  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}\)  matrice diagonale et  \(B=\begin{pmatrix}15\\8\end{pmatrix}\) .
La résolution est immédiate :  \(A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\)  et 

Avec une matrice  \(A\)  triangulaire inférieure

On veut résoudre le système  \(\begin {cases}3x=12\\x+2y=8\end{cases}\) .
Il s'écrit sous la forme  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\)  matrice triangulaire inférieure et  \(B=\begin{pmatrix}12\\8\end{pmatrix}\) .
La résolution du système est très rapide. On commence par la première équation  \(x=\dfrac{12}{3}=4\)  puis on substitue dans l'équation suivante  \(y=\dfrac{8-x}{2}=\dfrac{8-4}{2}=2\)  donc   \(X=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) .

Avec une matrice  \(A\)  triangulaire supérieure

On veut résoudre le système  \(\begin {cases}3x-y=11\\2y=8\end{cases}\) .
Il s'écrit sous la forme  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix}3&-1\\0&2\end{pmatrix}\)  matrice triangulaire supérieure et  \(B=\begin{pmatrix}11\\8\end{pmatrix}\) .
La résolution du système est très rapide. On commence par la dernière équation  \(y=\dfrac{8}{2}=4\)  puis on substitue dans l'équation précédente  \(x=\dfrac{11+y}{3}=\dfrac{11+4}{3}=5\)  donc   \(X=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\) .